알고리즘 기초 - 골드바흐의 추측 (백준 6588)

문제

1742년, 독일의 아마추어 수학가 크리스티안 골드바흐는 레온하르트 오일러에게 다음과 같은 추측을 제안하는 편지를 보냈다.

4보다 큰 모든 짝수는 두 홀수 소수의 합으로 나타낼 수 있다.

예를 들어 8은 3 + 5로 나타낼 수 있고, 3과 5는 모두 홀수인 소수이다. 또, 20 = 3 + 17 = 7 + 13, 42 = 5 + 37 = 11 + 31 = 13 + 29 = 19 + 23 이다.

이 추측은 아직도 해결되지 않은 문제이다.

백만 이하의 모든 짝수에 대해서, 이 추측을 검증하는 프로그램을 작성하시오.

입력

입력은 하나 또는 그 이상의 테스트 케이스로 이루어져 있다. 테스트 케이스의 개수는 100,000개를 넘지 않는다.

각 테스트 케이스는 짝수 정수 n 하나로 이루어져 있다. (6 ≤ n ≤ 1000000)

입력의 마지막 줄에는 0이 하나 주어진다.

출력

각 테스트 케이스에 대해서, n = a + b 형태로 출력한다. 이때, a와 b는 홀수 소수이다. 숫자와 연산자는 공백 하나로 구분되어져 있다. 만약, n을 만들 수 있는 방법이 여러 가지라면, b-a가 가장 큰 것을 출력한다. 또, 두 홀수 소수의 합으로 n을 나타낼 수 없는 경우에는 "Goldbach's conjecture is wrong."을 출력한다.

예제 입력 1

8
20
42
0

예제 출력 1

8 = 3 + 5
20 = 3 + 17
42 = 5 + 37

---

 

let input = require('fs').readFileSync(0).toString().trim().split('\n').map(Number);
input = input.splice(0, input.length - 1);
let max = Math.max(...input);
const check = Array.from({ length: max + 1 }).fill(false);

function solve(n) {
  for (let i = 3; i * i <= n; i++) {
    if (n % i === 0) return 0;
  }
  return 1;
}

function solution() {
  let ret = '';
  let flag = 0;
  for (let i = 3; i < max; i += 2) if (solve(i)) check[i] = true;
  input.forEach((n) => {
    for (let i = 3; i < n; i += 2) {
      if (check[i] && check[n - i]) {
        ret += `${n} = ${i} + ${n - i}\n`;
        flag = 1;
        break;
      }
    }
    if (flag === 0) ret += "Goldbach's conjecture is wrong.\n";
  });
  console.log(ret.trimEnd());
}

solution();

 

무식하게 접근하면 모든 케이스마다 케이스보다 작은 소수인 홀수들을 찾아서 두 개의 합이 케이스가 되는지를 판단한다.

하지만 케이스의 최대 갯수가 10만개이고 숫자의 최대범위는 100만개이다. O(N*M)만 되어도 테스트 실패다.

소수인 홀수들을 체크하는 과정을 따로 분리해서 작업을 해야한다.

 

let max = Math.max(...input);
const check = Array.from({ length: max + 1 }).fill(false);

모든 입력값들마다 자신보다 작으면서 소수인 홀수들을 구하기 위한 범위는 입력값의 최댓값까지이다.

따라서 입력값의 최댓값을 구한다. 

 

for (let i = 3; i < max; i += 2) if (solve(i)) check[i] = true;

3부터 요소들의 최댓값까지 홀수이면서 소수인 값들을 판별해 체크배열에 체크한다.

 

  input.forEach((n) => {
    for (let i = 3; i < n; i += 2) {
      if (check[i] && check[n - i]) {
        ret += `${n} = ${i} + ${n - i}\n`;
        flag = 1;
        break;
      }
    }
    if (flag === 0) ret += "Goldbach's conjecture is wrong.\n";
  });

a = b + c를 만족할 때, c = a - b이다. 따라서 i가 홀수이면서 소수이고, n-i도 홀수이면서 소수라면 골드바흐의 추측을 만족하는 것이다. n-i+i = n이기 때문이다.